Prédiction spatio-temporelle par équations aux dérivées partielles stochastiques

Thèse de Lucia Clarotto

Dans le cadre de la prévision des champs spatio-temporels en sciences de l’environnement, l’introduction de modèles inspirés par la physique des phénomènes sous-jacents qui sont numériquement efficaces est d’un intérêt croissant en statistiques spatiales. La taille des ensembles de données spatio-temporelles nécessite de nouvelles méthodes numériques pour les traiter efficacement. L’approche par équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) s’est avérée efficace pour l’estimation et la prédiction dans un contexte spatial.

Ce projet de thèse présente l’EDPS d’advection-diffusion avec une dérivée au premier ordre dans le temps afin d’élargir la famille des EDPS au contexte spatio-temporel. En variant les coefficients des opérateurs différentiels, l’approche permet de définir une large classe de modèles spatio-temporels non séparables. Une approximation de la solution de l’EDPS par un champ aléatoire markovien gaussien est construite en discrétisant la dérivée temporelle par une méthode de différences finies (Euler implicite) et en résolvant l’EDPS purement spatiale par une méthode d’éléments finis (Galerkin continu) à chaque pas de temps.

La technique de stabilisation « Streamline Diffusion » est introduite lorsque le terme d’advection domine le terme de diffusion. Des méthodes de calcul efficaces sont proposées pour estimer les paramètres de l’EDPS et pour prédire le champ spatio-temporel par krigeage. L’approche est finalement appliquée à un ensemble de données sur le rayonnement solaire.

Ce travail a débouché sur la publication « The SPDE approach for spatio-temporal datasets with advection and diffusion » en attente de publication dans Spatial Statistics.